<?
$A = array();
$n = 100;
$m = 50;
for($i=1; $i<=$n; $i++)
{
$A[$i] = $i;
}
//**********************
for($j=1; $j<=$m; $j++)
{
$tmpElem = $A[$n];
for($i=$n; $i>1; $i--)
{
$A[$i] = $A[$i-1];
}
$A[1] = $tmpElem;
}
//**********************
print_r($A);
?>

Роману: ну и чаво? каждый элемент у тебя сдвигается M раз, а по условию должен сдвигаться только однажды. кроме того, $tmpElem -- это фактически вспомогательная таблица, которую по условию использовать запрещено.

хитрость тут в том, что для обмена i-того и i+m-того элементов нужно использовать такой алгоритм:

a[i]-=a[i+m];
a[i+m]+=a[i];
a[i]=a[i+m]-a[i];

вот как правильно:
<?
$A = array();
$n = 100;
$m = 50;
for($i=1; $i<=$n; $i++)
{
$A[$i] = $i;
}
//**********************
for($i=1; $i<=$m; $i++)
{
$A[$i] = $A[$i]-$A[$i+$m];
$A[$i+$m] = $A[$i+$m]+$A[$i];
$A[$i] = $A[$i+$m]-$A[$i];
}
//**********************
print_r($A);
?>

PS вообще-то говоря, редакция не указала, что M должно быть половиной N. без такой оговорки решения в общем случае не существует