Обозначим людей 1,2,5,10 по времени, затрачиваемому на переход через мост.

Вот последовательность переходов, гарантирующая минимальное время (время на каждый переход указано в скобках

0. Все на исходной позиции: 1, 2, 5, 10 ⇔ — (0 мин.)
1. 1 и 2 идут на другой берег: 5, 10 ⇔ 1, 2 (2 мин.)
2. 1 возвращается: 1, 5, 10 ⇔ 2 (1 мин.)
3. 5 и 10 идут на другой берег: 1 ⇔ 2, 5, 10 (10 мин.)
4. 2 возвращается: 1, 2 ⇔ 5, 10 (2 мин.)
5. 1 и 2 идут на другой берег: — ⇔ 1, 2, 5, 10 (2 мин.)

Итого: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.

Формальное доказательство можно провести с использованием графа, вершинами в котором являются положения людей и фонарика на разных концах моста; две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда из одного положения можно перейти в другое по условиям задачи (фонарик, не более двух человек за переход etc); вес ребра — время, затрачиваемое на такой переход.

Для решения этой задачи надо найти на этом графе минимальный путь из начального положения в конечное.