Рассмотрим общий случай.

Обозначим последнюю цифру числа d, само число — N, разрядность числа — n, коэффициент увеличения числа после перестановки последней цифры в начало — k.

Число, образованное первыми n-1 цифрами исходного числа = (N-d)/10

Соответственно, исходное условие (после перестановки последней цифры в начало новое число в k раз больше старого) можно записать так:

10^n-1d+(N-d)/10 = kN

Умножаем обе части на 10:

10ⁿd+N-d = 10kN

Разносим:

N (10k-1) = d (10ⁿ-1)

Итого:

N = d (10ⁿ-1)/(10k-1)

Это общая формула для чисел, увеличивающихся в целое число раз при переставлении последней цифры в начало.

В нашем случае k = 5, d = 5. Значит

N = 5 (10ⁿ-1)/49

N — число целое, значит числитель должен делиться на 49 нацело. Числитель представляет из себя произведение пятёрки и числа из n девяток.

Пятёрка к делению на 49 отношения не имеет, значит на 49 должно делиться 10ⁿ-1, т.е. n девяток.

49 — это квадрат семёрки, значит сперва необходимо исследовать делимость 10ⁿ-1 на 7.

Признак делимости на 7: число дает такой же остаток от деления на 7, что и знакопеременная сумма чисел образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +).

По этому признаку числа вида 10ⁿ-1 делятся на 7 только при n, кратных 6 — для этих n знакопеременная сумма троек равняется 0. При n не кратных 6, знакопеременная сумма принимает значения: 900, 990, 999, 99, 9 — эти числа на 7 не делятся, значит не делится на 7 и 10ⁿ-1, при n не кратных 6.

Итак, чтобы 10ⁿ-1 делится на 7 тогда и только тогда, когда n = 6m. Результат деления на 7 при этом представляет из себя число вида 142857...142857 (m раз).

Чтобы число 10ⁿ-1 делилось на 49, надо чтобы это число 142857...142857 делилось на 7.

Пользуемся признаком делимости на 7 ещё раз: знакопеременная сумма троек равняется m(857-142) = 715m — это число кратно 7 при минимальном значении m=7.

Значит, минимальное число n, при котором 10ⁿ-1 кратно 49, равняется: n = 6m = 6*7 = 42.

Искомое число N = 5*(10⁴²-1)/49 = 102040816326530612244897959183673469387755 (для вычисления был использован java-калькулятор).