кроссворды, задачки, головоломки

Сборник задач разного уровня сложности по математике, информатике, физике, химии, программированию, экономике etc. Логические задачи, SQL задачи, решение задач. Задачи с ответами, а также нерешённые задачи.

Petruchek.Info

Последнюю пятёрку в начало

Добавлено: 12.05.08 в 02:35
Метки: делимость

Последнюю цифру числа, равную пяти, переставили в начало числа. В результате получилось число, в пять раз большее исходного. Найти наименьшее число, обладающее таким свойством.

(Задача без указания последней цифры значительно проще.)

СПРЯТАТЬ РЕШЕНИЕ/ОТВЕТ

Рассмотрим общий случай.

Обозначим последнюю цифру числа d, само число — N, разрядность числа — n, коэффициент увеличения числа после перестановки последней цифры в начало — k.

Число, образованное первыми n-1 цифрами исходного числа = (N-d)/10

Соответственно, исходное условие (после перестановки последней цифры в начало новое число в k раз больше старого) можно записать так:

10n-1d+(N-d)/10 = kN

Умножаем обе части на 10:

10nd+N-d = 10kN

Разносим:

N (10k-1) = d (10n-1)

Итого:

N = d (10n-1)/(10k-1)

Это общая формула для чисел, увеличивающихся в целое число раз при переставлении последней цифры в начало.

В нашем случае k = 5, d = 5. Значит

N = 5 (10n-1)/49

N — число целое, значит числитель должен делиться на 49 нацело. Числитель представляет из себя произведение пятёрки и числа из n девяток.

Пятёрка к делению на 49 отношения не имеет, значит на 49 должно делиться 10n-1, т.е. n девяток.

49 — это квадрат семёрки, значит сперва необходимо исследовать делимость 10n-1 на 7.

Признак делимости на 7: число дает такой же остаток от деления на 7, что и знакопеременная сумма чисел образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +).

По этому признаку числа вида 10n-1 делятся на 7 только при n, кратных 6 — для этих n знакопеременная сумма троек равняется 0. При n не кратных 6, знакопеременная сумма принимает значения: 900, 990, 999, 99, 9 — эти числа на 7 не делятся, значит не делится на 7 и 10n-1, при n не кратных 6.

Итак, чтобы 10n-1 делится на 7 тогда и только тогда, когда n = 6m. Результат деления на 7 при этом представляет из себя число вида 142857...142857 (m раз).

Чтобы число 10n-1 делилось на 49, надо чтобы это число 142857...142857 делилось на 7.

Пользуемся признаком делимости на 7 ещё раз: знакопеременная сумма троек равняется m(857-142) = 715m — это число кратно 7 при минимальном значении m=7.

Значит, минимальное число n, при котором 10n-1 кратно 49, равняется: n = 6m = 6*7 = 42.

Искомое число N = 5*(1042-1)/49 = 102040816326530612244897959183673469387755 (для вычисления был использован java-калькулятор).

источник

Комментарии
Google says:
Комментарий от новенького:
Новенький является
Новенький не робот
Знаки на картинке: латинские буквы, арабские цифры


Есть на сайте: Онлайн кроссворды Задачи Онлайн игры Блог
Все работы, опубликованные на сайте — авторские, если не указано иное. Перепечатка возможна только с письменного разрешения владельцев ресурса, с обязательной ссылкой на сайт petruchek.info. Пишите нам: . Сайт должен работать в IE, FF, Opera, Safari.

Реклама:

Разработано в студии "Webous"о проектесайта карта

Реклама: