Функциональное уравнение #1

Разминка для мозгов » Задачи » Функциональное уравнение #1

Добавлено: 09.05.08 в 03:12

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y)

Найти f(2007), если f(1/2007) = 1

СПРЯТАТЬ РЕШЕНИЕ/ОТВЕТ

При x=1, y=1 имеем
f(1*1) = f(1) + f(1) ⇒ f(1) = 0

При x=2007, y=1/2007 получаем
0 = f(1) = f(2007*(1/2007)) = f(2007) + f(1/2007) ⇒ f(2007) = -f(1/2007) = -1

ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ/ОТВЕТ

источник

Комментарии

Google says:

Максим (09.07.10):

Очевидно, f(1)=0
f(1)=f((1/2007)*2007)=f(1/2007)+f(2007), то есть
f(2007)+f(1/2007)=0
f(2007)=-1

Петр (12.03.18):

Из школьного курса знаем, что логарифмы удовлетворяют равенству f(xy) = f(x) + f(y).
Исходя из условия f(1/2007) = 1, понимаем, что основание логарифма равно 1/2007.
Таким образом f(2007) = f((1/2007)^(-1)) = -f(1/2007) = -1/

Есть на сайте: Онлайн кроссворды Задачи Онлайн игры Блог

Все работы, опубликованные на сайте — авторские, если не указано иное. Перепечатка возможна только с письменного разрешения владельцев ресурса, с обязательной ссылкой на сайт petruchek.info. Пишите нам: . Сайт должен работать в IE, FF, Opera, Safari.

Разработано в студии "Webous" — о проекте — сайта карта —

		Сборник задач разного уровня сложности по математике, информатике, физике, химии, программированию, экономике etc. Логические задачи, SQL задачи, решение задач. Задачи с ответами, а также нерешённые задачи. Petruchek.Info

Petruchek.Info

Функциональное уравнение #1