может, если она изначально покрашена в один цвет.

нет. не верно.
перекрасив доску в противоположные цвета получим все равно шахматную доску, только наоборот .))

нет, одноцветную доску не получите.

Как-то так.
Если каждую раскраску описанным способом можно преобразовать в одноцветную, то из какой-либо (одной из двух) одноцветной раскраски можно получить любую раскраску. Общее число позиций указанных квадратов равно 6х6+5х5=61, поэтому на основе описанных преобразований из одноцветных можно получить не более 2^62 раскрасок. Всего же раскрасок доски 2^64. Следовательно, некоторые раскраски из одноцветных получить не удастся. Следовательно, эти раскраски не могут быть преобразованы указанным способом в одноцветные.