кроссворды, задачки, головоломки

Сборник задач разного уровня сложности по математике, информатике, физике, химии, программированию, экономике etc. Логические задачи, SQL задачи, решение задач. Задачи с ответами, а также нерешённые задачи.

Petruchek.Info

b в степени a больше, чем a в степени b

Добавлено: 24.12.14 в 15:35
Метки: неравенства производные

Дано: два целых числа b > 2 и a > b.

Доказать: ba > ab.

СПРЯТАТЬ РЕШЕНИЕ/ОТВЕТ

Извлечём из обеих частей неравенства корень степени ab

Нам требуется доказать, что  

Исследуем функцию   для x > 0.

Судя по графику:

функция возрастает до какой-то точки между 2 и 3, а затем начинает убывать.

Действительно, возьмём производную:

Функция возрастает (производная положительна) до точки, в которой ln x = 1,
т.е. до x = e, а далее убывает (производная отрицательна).

В исходном условии a и b — целые, большие двух числа.
Значит (т.к. функция убывает для x > e), если b < a, то .

Возводим обе части неравенства в степень ab, получаем требуемое: ba > ab


Комментарии
Google says:
iriandr2002@mail.ru (27.12.14):
Вывод корректен лишь в случае, если сравнивается b в степени 1/k и a в степени 1/k, где k - любое целое больше 2. И только.
   Ответ редакции
Почему?

Функция убывает для всех вещественных x > e, значит если a > b > e, то .

Мы пользуемся определением убывающей функции — большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Что это вообще за k? Функция у нас - икс в степени 1/х, т.е. корень икстой степени из икса.
Комментарий от новенького:
Новенький является
Новенький не робот
Знаки на картинке: латинские буквы, арабские цифры


Есть на сайте: Онлайн кроссворды Задачи Онлайн игры Блог
Все работы, опубликованные на сайте — авторские, если не указано иное. Перепечатка возможна только с письменного разрешения владельцев ресурса, с обязательной ссылкой на сайт petruchek.info. Пишите нам: . Сайт должен работать в IE, FF, Opera, Safari.

Реклама:

Разработано в студии "Webous"о проектесайта карта

Реклама: