Пусть эти числа a₁, ..., a₁₀.

Рассмотрим 10 чисел: a₁, a₁+a₂, a₁+a₂+a₃,..., a₁+...+a₁₀ и их остатки от деления на 10.

Если среди этих остатков есть хотя бы один 0, то у нас есть искомые числа, сумма которых делится на 10.

Если среди остатков нет 0, то мы имеем 10 остатков, каждый из которых может равен некоторому числу из интервала [1,9].

По принципу Дирихле, как минимум два остатка будут равны. Рассмотрим разность между числами, остатки от деления на 10 которых равны. Очевидно, что эта разность делится на 10.

С другой стороны, эта разность представляет из себя сумму нескольких чисел из 10 исходных.

Например, если равны остатки от деления на 10 у чисел a₁+a₂ и a₁+a₂+a₃+a₄, то сумма a₃+a₄ делится на 10.