Рассмотрим набор из 1000 степеней тройки.

Рассмотрим остатки от деления этих чисел на 1000. Поскольку нацело на 1000 ни одна из этих степеней не делится, то существует как минимум два числа, дающих одинаковые остатки при делении на 1000.

Обозначим их 3^m и 3ⁿ, для определённости будем считать, что m > n

Они дают одинаковые остатки при делении на 1000, следовательно их разность кратна 1000:
3^m - 3ⁿ = 3ⁿ(3^m-n - 1) 1000
3ⁿ не имеет общих делителей с 1000, следовательно 3^m-n - 1 кратно 1000. Число 3^m-n - 1 заканчивается тремя нулями, значит число 3^m-n (какая-то степень тройки) заканчивается на 001.