кроссворды, задачки, головоломки

Журнал сайта.

Petruchek.Info

Признаки делимости на 11, 7, 13

Добавлено: 16.05.08 в 07:24

  1. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на 11.
  2. Число делится на 7, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 7.
  3. Число делится на 13, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 13.
  • Остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления на 11 знакопеременной суммы его цифр (последняя цифра со знаком +)
  • Остаток от деления числа на 7 равен остатку от деления на 7 знакопеременной суммы чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +).
  • Остаток от деления числа на 13 равен остатку от деления на 13 знакопеременной суммы чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +).
Для доказательства необходимо рассмотреть разность между самим числом и знакопеременной суммой его цифр (троек).

Комментарии
Google says:
Вова (21.08.08):
Для этого надо рассмотреть число 1001= 7*11*13. :))
и можно объединить:
Число делится на 7, 11 или 13, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 7, 11 или 13 соответственно.
Хью (12.12.08):
блин так как на 7 определить делится или нет
   Ответ редакции
Перечитайте второй пункт.
akasex (18.12.08):
Признак Паскаля...
   Ответ редакции
От Паскаля слышу...
Аноним (26.02.09):
спасибо !
   Ответ редакции
пользуйтесь !
Keyboarder (20.03.09):
Кто-нибудь может дать доказательство всех этих утверждений, если они вообще есть?
   Ответ редакции
Последнее предложение перечитайте три раза.
Аноним (11.05.09):
Что-такое знакопеременная сумма чисел.
   Ответ редакции
Не знаем (((

Может, сумма чисел с меняющимися знаками? Сначала знак "кирпич", потом знак "Осторожно, дети!", потом знак "гужевой транспорт".
Wind (08.08.09):
Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на 11.
Можно сказать проще:
число делится на 11, если сумма цифр, занимающих четные места = сумме нечетных цифр, или отличается от нее на число, делящееся на 11.
   Ответ редакции
Можно.
Аноним (07.09.09):
пасиба!!!!!!!!
Марина (08.09.09):
Те, что стоят на четных местах берем со знаком +, а на нечетных - с минусом.
евгений (09.09.09):
узнать признак делимости на 7 и 11
   Ответ редакции
Узнавайте.
Нютик (10.09.09):
спасибо! мне 5 за это поставмили.
Mary (11.09.09):
Число делится на 11 в том и только в том случае, если на 11 делится сумма, получаемая следующим образом: десятичную запись числа разбивают на группы по две цифры справа налево (самая левая группа может состоять и из одной цифры) и все полученные числа складывают.

Доказательство. Запишем число в системе счисления с основанием 100. , где коэффициенты - двузначные числа. Остатки от деления чисел 100, , …, , … на 11 равны 1. Действительно, , , и т. д. Здесь - сумма двузначных чисел.
   Ответ редакции
Зачем такое сложно доказательство?

Рассмотрим разность между числом и знакопеременной суммой его цифр. В случае трёхназного числа abc это число равно 100a+10b+c, знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c.

Разность между ними: (100a+10b+c)-(a-b+c) = 99a+11b = 11(9a+b)

Число справа делится на 11, значит либо и вычитаемое, и уменьшаемое либо одновременно кратны 11, либо одновременно некратны (они дают одинаковый остаток при делении на 11).

Возможность расписать доказательство в общем случае мы предоставляем нашим читателям. Подскажем, что все слагаемые в итоговой разности будут иметь вид 9...9 или 1(00..00)1 — во втором случае внутри скобок записано чётное число нулей. Для доказательства делимости чисел вида 1(00..00)1 на 11 можно прибегнуть к индукции, например.

Если в знакопеременной сумме цифр последняя цифра взята с минусом, а не с плюсом, то рассматривать надо не разность, а сумму.
Mary (11.09.09):
Знакопеременная сумма это +-+-+-+-+. Начинать расставлять знаки нужно с конца числа, причём первым, как уже было сказано обязательно должен быть +!
   Ответ редакции
Какая разница, Mary? Вы думаете, так обязательно получится неотрицательное число? Необязательно.

А вообще отрицательные целые числа тоже могут делиться нацело.
Тайна (16.09.09):
как понять знакопеременная?
   Ответ редакции
Марина написала уже.
Машутка (18.09.09):
Спасибо Благодаря вашему сайту я получила 5
   Ответ редакции
Надеемся, что не по 12-балльной системе.
DGW (11.10.09):
Случайно нашел Вашу страницу. Спасибо, очень интересно.
У меня братик ходит в 5 класс и у него задача:

докажи, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.

Из Ваших пояснений я понял, что (abc) равно 100a+10b+c, но я не могу объяснить ему (100a+10b+c)-(a-b+c). Объясните, пожалуйста, из каких соображений мы берем 2-е слагаемое (-(a-b+c))? Спасибо за помощь!
   Ответ редакции
Если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, получится шестизначное число abccba, которое равно 100000a+10000b+1000c+100с+10b+a = 100001a+10010b+1100c = 11(9091a+910b+100c).

Очевидно, что полученное число делится на 11.

Я предполагаю, что в пятом классе умеют раскладывать число по разрядам, именно на этом решение и основано.

Если они знают признак делимости на 11 (не думаю, что они его доказывают, просто учат и используют), то можно применить этот признак к числу abccba. Знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c-с+b-a = 0; 0 на 11 делится, значит и само число делится.
Аноним (11.10.09):
Огромное спасибо!!!
Kleo (14.10.09):
Подскажите пожалуйста,как определить четное или нечетное число делителей у числа n, и какое значение имеет степень в этом случае, например n^2, где n - натуральное число (12345^2)
th13f (26.10.09):
спасибо
Alekcandra (29.11.09):
Признак делимости на 7))
а общий вид?))это подходит только для больших чисел, которые состоят из количества цифр кратных 3
ultra mojito (04.12.09):
блииин не поняла про 11 помогите кто нибудь
Аноним (04.12.09):
непонятно
Аноним (27.12.09):
скажите пожалуйста признак деления на 18 а то я дз не могу выполнить
Максим (10.01.10):
Да признака делимости на 18 нет, но есть признаки делимости на 9 и 2, если на них число делится, то число делится и на 18.
Аноним (10.01.10):
Подскажите пожалуйста, делится ли число 11...111 (единиц 2009) на 7????
Аноним (11.01.10):
нет, не делится!!!
Аноним (26.01.10):
а как на 27 делить
а то признака нигде найти не могу
Помогите пожалуйста
Елена (07.02.10):
привет от учителя математики и спасибо! только теперь это надо ещё и детям объяснить%)
Аноним (20.02.10):
а можно пример деления многозначного числа на 7? а то что-то не очень понятно.
Олег (02.03.10):
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).
Олег (02.03.10):
Ну и если кому-то понадобится - натолкнулся случайно:

Признаки делимости Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n - 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n - 1.

Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр - нули.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.
=) (04.03.10):
Вот Олег-молодец! Всё понятно написал,а то Знакопеременная сумма.....
Даниил (05.03.10):
Нашел вашу страницу. Меня интересует задача: два трехзначных числа не делятся на три. Как доказать, что либо сумма этих чисел, либо их разность делится на три? Задали в 6 классе.
Помогите, пожалуйста
мира (12.03.10):
спасибо, очень быстро нашла признак на 7
Аноним (24.03.10):
Где доказательства этого всего?(((((
))) (25.03.10):
Подскажите пожалуйста признак делимости на 27
Yana (10.05.10):
Надеюсь,поможет получить 5...)
Аноним (19.05.10):
Вопрос по признаку делимости на 7: А если количество цифр в числе не делиться на 3. например состоит из семи цифр
Мария (14.06.10):
Ребятки, помогите решить задачку. Доказать, что если какое либо двузначное число делится на 7, то на 7 делится и число обращенное и увеличенное на колличество десятков данног числа. (например, 14 делится на 7, и число 41+1=42 делится на 7).
Аня (05.09.10):
А у меня тут такой вопрос,вернее не у меня,а у моей племяшки,помогите,пожалуйста, решить вот такую штуку:"Докажите,что разность трехзначного числа и числа,записанного теми же цифрами в обратном порядке ,делится на 9."Будем признательны за помощь:)
   Ответ редакции
Аноним (09.09.10):
СУПЕЕЕР
селя мл. (09.09.10):
люди, а есть что нибудь по-понятней для 6класса?
Аноним (12.09.10):
самый тупой сайт который я видела!!!!
   Ответ редакции
ок
ВеЛиКиЙ МаТеМаТиК (12.09.10):
Ей богу я не хира не поняла. И как ме по математике здавать???
ЛиЗа (12.09.10):
Ей богу самого глепого сайта в жизни не видали
аня (14.09.10):
ВеЛиКиЙ МаТеМаТиК
Ей богу я не хира не поняла. И как ме по математике здавать???

тогда не считайте себя "ВеЛиКиЙм МаТеМаТиКом";) всё бонально просто!
Юлечка (15.09.10):
Очень всё понятно расписано в районе 4 страницы Олегом (запись от 02.03.10). Практически на пальцах. Спасибо.
Александр (21.09.10):
Всем здравствуйте. Помогите решить задачку!
Найдите все семизначные числа, все цифры которых различны и которые делятся на все эти цифры.
luci (25.09.10):
Помогите пожалуйста разобраться в решении и объясните что к чему:a+b+c=328
ответ (28.09.10):
редакция вам ответ: сумма цифр трехзначного числа делится на 9 с каким-то остатком, то если поменять порядок, то остаток будет таким же при делении на 9, при вычитании одного числа из другого остатки тоже вычитаются, получается остаток при делении на 9 будетт 0
ХХХ (06.10.10):
Олег молодец!!!
Gustaf (10.10.10):
Не могу понять в чем моя ошибка при применении метода паскаля - может подскажете?
Делю на 7 число 16777215 (делится на 7 без остатка), но многочлен паскаля с коэффициентами r1..r5 {3,2,6,4,5,1} не дает сумму, которая без остатка делится на 7. Вот сумма = 1*[1]+1*[6]+5*[7]+4*[7]+6*[7]+2*[2]+3*[1]+[5]=124.
В чем ошибка?
рита (11.10.10):
люди можете написать те числа которые делятся на 3 и на 4 сразу
алинка (13.10.10):
а как доказать что число АБАБАБ делится на 7????? (А,Б - цифры)
Ksuxa ))) (15.10.10):
Глупый сайт и ничего непонятно !!! УЖАС !!!
фотограф (25.10.10):
Помогите пожалуйста! мне нужно решить задачу: каких натуральных чисел больше(от 1 до 1 000 000):делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?
Александр (27.10.10):
А как тогда узнать делится число 3^60 - 2^60 на 11? Кто знает помогите, реально надо!!!!!!

можно и в скайп skript999
Аноним (02.11.10):
Сайт Спер Мне к егэ
очень помогло
Егор (04.11.10):
Олег браво !!
Никита (15.11.10):
можете помочь??? нужно доказать что число делится на 7(11,13) тогда и только тогда когда разность между числом, составленным из 3-ёх последних цифр данного числа, составленным из оставшихся цифр делится на 7(11,13)
Аноним (21.11.10):
А есть примеры???
Аноним (25.11.10):
Херня полная!Объясняйте лучше!Я тока через полчаса сам допер!
Аноним (02.12.10):
помогите решить задачку: Докажите, что среди 2011 натуральных чисел можно выбрать два числа разность которых делится на 11.
света (05.12.10):
в признаке делимости на 11 - 10n или 10 в степени n?
Аноним (05.12.10):
докажите плиз подробно необходимые и достаточные признаки делимости на 4, 5, 9 и 25
Тома (06.12.10):
Решение задачи для Александра(27.10.10). Конечно, поздновато, но, может, ещё пригодится:
Задача 3. делится ли число 3^60 - 2^60 на 11?
Решение :3^60-2^60=(3^30-2^30 )∙(3^30+2^30 )=(3^10-2^10 )∙(3^10+2^10 )∙(3^20+3^10∙2^10+2^20 )∙(3^20-3^10∙2^10+2^20 )=(3^5-2^5 )∙(3^5+2^5 )∙(3^10+2^10 )∙(3^20+3^10∙2^10+2^20 )∙(3^20-3^10∙2^10+2^20 )
Произведение делится на простое число, если хотя бы один из множителей его разложения делится на это число. В общем случае вычисления могут оказаться весьма громоздкими, но в нашем случае, если начать перебор, начиная с меньших множителей, получаем результат на 2 шагу.
3^5=243; 2^5=32,тогда 3^5-2^5=211⋮ ̅11
3^5+2^5=275⋮11,т.к.2+5-7=0⋮7
Ответ: делится.
Тома (06.12.10):
Когда увидела, во что превратилась на сайте запись моего решения, поняла, что нужно написать комментарии:
1 шаг: 3^60 - 2^60 сначала разложить по формуле разности квадратов, затем, полученные сумму и разность разложить по формулам, соответственно, разности кубов и суммы кубов. Первую скобку разности кубов разложить ещё раз по разности квадратов.
Получится сумма и разность пятых степеней тройки и двойки.
2 шаг: вычислим пятые степени и найдём сначала разность. Она равна 211 и не делится на 11, а сумма даёт 275. Это число делится на11 по признаку.
Тома (06.12.10):
Ответ (скорее всего, запоздалый) на запись фотографа от (25.10.10):
Помогите пожалуйста! мне нужно решить задачу: каких натуральных чисел больше(от 1 до 1 000 000):делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?
Решение: В миллионе содержится 90909 чисел, делящихся нацело на 11, т.к. 1000000: 11 = 90909(1) и 76923 числа, делящихся нацело на 13, т.к. 1000000:13 = 76923(1), а также 6993 числа, которые делятся одновременно на 11 и на 13,т.е. на их произведение 143, т.к. 1000000: 143 = 6993(1).
Количество чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 13, составляет 90909-6993=83916, а делящихся на 13 и не делящихся на 11, будет 76923-6993=69930.
Ответ: в миллионе больше чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 13, чем чисел, делящихся на 13 и не делящихся на11
Замечание: Все вычисления можно было не проводить: 11 меньше 13, значит частное от деления миллиона на 11 больше частного от деления миллиона на 13. Из этих частных вычитается одно и то же количество чисел, которые делятся и на 11 и на 13 одновременно. По свойству числовых неравенств, смысл неравенства не изменяется, если из его обеих частей вычесть одно и то же число.
NЛЬR (10.01.11):
А как определить, что признак делимости на 7, именно кратность семи ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ СУММОЙ ЧИСЕЛ, ОБРАЗОВАННЫХ ТРОЙКАМИ ЕГО ЦИФР, взятыми с конца(ПОСЛЕДНЕЕ ЧИСЛО СО ЗНАКОМ +)?
(Что нужно определить, я выделил)
ЯЯЯ (11.01.11):
Найдутся ли хотя бы 3 десятичных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9.
света (11.01.11):
мне надо доказать обратное утверждение для каждого признака делимости.(7класс)
КатюшКА (12.01.11):
Спасибо=)
Очень пригодилось=)))
Тома (17.01.11):
Ответ для ЯЯЯ
Найдутся ли хотя бы 3 десятизначных числа, в записи которых использованы все цифры от 0 до 9, которые делятся на 11.
Решение:
Число делится на 11, когда делится на 11 знакочередующаяся сумма цифр числа!
Сумма всех цифр любого числа из условия 0+1+..+9=45
Из всех возможных разностей соответствующих сумм на 11 делятся числа: 0; 11; 22; 33; 44.
Сумма цифр любого числа из условия 0+1+..+9=45,
значит о и 22 и 44 не подходят, т.к. в этом случае разности получатся дробными, чего не может быть.
Если разность 33, то суммы соответственно равны 39 и 6, что невозможно: наименьшая сумма пяти слагаемых 0+1+2+3+4=10.
Т.о. разность сумм не может составлять 33.
Это значит, что разность сумм должна равняться 11: т.е. суммы могут принимать значения 17 и 28.
Осталось подобрать такие пятёрки различных чисел от 0 до 9, суммы которых равны 17, тогда суммы оставшихся чисел от 0 до 9 принимают значение 28.
Найдём такие суммы:
2+0+4+5+6=17, тогда 1+3+7+8+9=28
Числа, удовлетворяющие условию, например,
2103475869; 1230748596; 4103276859 и т.д.
Возможны другие суммы:
1+0+3+7+6=17, тогда 2+4+5+8+9=28
1+2+3+4+7=17, тогда 5+6+0+8+9 = 28
и т.д.
Т.о. не только удалось показать существование 3 чисел, удовлетворяющих условию, и привести примеры этих чисел, но и показать способ их конструирования.
Даша (18.01.11):
кто знает.....?..признак делимости на 22, 33, 36, 45, 55, 75 ..подскажите филологу))))
Тома (19.01.11):
Даша! Числа,признаки делимости на которые Вы спрашиваете, являются составными. 22=11*2, следовательно, чтобы число делилос. на 22, оно должно делиться на 2 и на 11, т.е. быть чётным и его знакочередующаяся сумма цифр долна делиться на 11. 33=3*11 - значит долен выпоняться признак делимости на 3 (сумма всех цифр числа делится на3) и признак делимости на 11. 45=5*9 На 5 делятся числа,оканчивающиеся на 0 и на 5, а на 9, сумма цифр которого делится на 9. 55=5*11 - требуется выполнение приведённых выше признаков делимости на 5 и на 11. 75=3*25. Число делится на 25, если оканчивается на 25,50,75,00. Признак делимости на 3 приведён выше. Дальше, используя известные признаки делимости, можете сами проверять делимость чисел, разложив их на удобные(не всегда простые) множители.
Мария (29.01.11):
существует ли 36-значное число,36-я степень которого оканчивается самим этим числом?
ученик (02.02.11):
помогите решить задачу
найдите наименьшее число, котороет при делении на 13, 11 и 7 дает остаток 1, а на 3 делится нацело
ученик (02.02.11):
уже сам нашел число, но не знаю, как объяснить решение
Тома (07.02.11):
Искомое число 1002.
Наименьшее число, которое без остатка делится на 7,11 и 13 есть их произведение, т.к. числа простые. Оно равно 1001 ( число Шахразады). Следовательно, наименьшее число, которое при делении на все данные числа даёт в остатке 1 - на единицу больше числа, которое на них делится нацело, т.е. 1001+1=1002. Т.к. сумма цифр найденного числа делится на 3, то оно удовлетворяет и второму требованию, т.е. делится нацело на 3.
natasha (25.02.11):
найдите все такие простые числа Р, что 8Р^2(в квадрате) + 1 тоже простое Сумма нескольких натуральных чисел делится на 6.Всегда ли сумма кубов этих чисел будет делится на 6
вииик@ (27.02.11):
я чет не врубилась...
Тома (28.02.11):
Сумма нескольких натуральных чисел делится на 6.Всегда ли сумма кубов этих чисел будет делится на 6?

Рассмотрим сумму кубов нескольких чисел. К каждому кубу прибавим и вычтем его основание : a3= a+(a3 – a); b3= b + (b3 – b); c3= c+(c3 – c) и. т.д. преобразуем сколько угодно слагаемых. Тогда сумму кубов можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на 6.
a3+b3+c3+…… = a+(a3 – a)+ b + (b3 – b)+ c+(c3 – c) +……= (a+b+c….)+
+ (a - 1)a(a+1) + (b - 1)b(b +1) +(c – 1)c(c+1)+… (*)
Слагаемое (a+b+c….) делится на 6 по условию. Разложим на множители каждую из разностей вида (a3 – a) = (a - 1)a(a+1) . При а=1 произведение
(a - 1)a(a+1)=0 - 0 делится на любое число, в том числе и на 6. Если а больше или равно двум, то (a - 1)a(a+1) – произведение трёх последовательных натуральных чисел, которое всегда делится на 6.
Если каждое слагаемое суммы делится на какое-то число, то и сумма делится на это число. Т.к. в правой части выражения (*) все слагаемые делятся на 6 при любых натуральных a,b,c…., то и левая часть a3+b3+c3+…… делится на 6.
Ответ: если сумма нескольких натуральных чисел делится на 6, то и сумма кубов этих чисел делится на 6.
Тома (28.02.11):
найдите все такие простые числа Р, что 8Р^2(в квадрате) + 1 тоже простое.
Рассмотрим частные случаи: пусть p=2, тогда 8p2 + 1=8*4+1=33 – делится на 3;
При p=3 8p2 + 1=8*9+1=73 – простое число.
При p=5 8p2 + 1=8*25+1=201 – делится на 3.
При p=7 8p2 + 1=8*49+1=399 – делится на 3.
Похоже, что числа вида 8p2 + 1, где p - простое и p 3 делятся нацело на 3. Проверим полученное предположение. При делении на 3 все числа могут давать остатки r, равные 0, 1, и 2, значит все значения p могут принять вид:
r=0 p = 3k – однако, это не возможно, т.к. p делится только на 1 и на себя, а полученные числа делятся нацело на 3.
r=1 p = 3k+1, тогда 8p2 + 1= 8(9k2+6k +1) +1 = 72k2 +48k+8+1= 3(24k2 +16k+3), т.е. все числа такого вида делятся на 3 и не могут быть простыми.
r=2 p = 3k+2, тогда 8p2 + 1= 8(9k2+12k +4) +1 = 72k2 +96k+32+1= 3(24k2 +32k+11), т.е. все числа такого вида делятся на 3 и не могут быть простыми.
Удалось показать, что 8p2 + 1 делится на 3 при любых значениях p , кроме 3.
Т.о. 8p2 + 1=73 - простое число только при p =3.
Ответ: p =3.
Аноним (09.03.11):
А ПО ЧЕЛОВЕЧЕСКИ ОБЪЯСНИТЬ МОЖНО!!!!!!!!!!
Тома (14.03.11):
“Искра знания возгорается в том, кто достигает понимания собственными силами”.
Индийский математик XII века Бхаскара.
Никто (16.03.11):
Фигня, г*вно полние не фига не понятно кто согласен пишите за
Ислам (16.03.11):
Нечего путного,побольше примеров! И ПО ПОНЯТНЕЙ ВЫРАЖАЙТЕ СВОИ МЫСЛИ!
Аноним (26.03.11):
за
Михаил (05.04.11):
Число делится на 84 если оно делится на 2, 6 и 7.
6aPa6yJIka (11.04.11):
А когда число делится на 6?
   Ответ редакции
По субботам.
яночка (14.04.11):
привет! помогите пожалйста решить задачу: найдите трехзначное число кратное 45,если разность между этим числом и числом, записанном теми же цифрами в обратном порядке равна 297
Тома (17.04.11):
Обозначим искомое число xyz, где x – число сотен, y – число десятков, а z – число единиц. Ясно, что x, y, z могут принимать только натуральные значения, причём x- от 1 до 9, y - от 0 до 9, z – от 1 до 9 (если x=0, то число не будет трёхзначным, а если z=0, то не будет трёхзначным число, записанное теми же цифрами в обратном порядке). Искомое число представим в виде 100x + 10y + z, тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид 100z +10y +z. Запишем их разность:
100x + 10y + z – (100z +10y +x) = (100x-100z) + (10y-10y) – (x-z) = 100(x-z) - (x-z) = 99(x-z)
По условию 99(x-z) = 297, отсюда x-z = 3,
или х=z + 3 Имеем следующие возможности: z=1, тогда x=4;
z=2, тогда x=5; z=3, тогда x=6; z=4, тогда x=7;
z=5, тогда x=8; z=6, тогда x=9. По условию искомое число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 5, т.к. z не может быть нулём. Т.о. возможна только пара x=8, z=5. Чтобы найти y, учтём, что число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9, т.е. x + y + z кратна 9. Сумма x+z=13, значит x + y + z = 18, а тогда y = 5. Искомое число 855.
Проверяем : 855: 45=19, 855 – 558 = 297.
Ответ: 855.
Тома (17.04.11):
PS Заметила опечатку в 4-ой строке: число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид
100z +10y + x.
ypa (11.05.11):
спасибо помогло
1120 (12.05.11):
Какое высказывание верно?
1. число 0 кратно любому числу
2. число 0 не кратно никакому числу
Тома (13.05.11):
Верно первое высказывание при условии а не равно нулю.: свойство умножения 0*а=0 при а не равном нулю, следовательно 0:а=0 при а не равном нулю.
Возможно, в условии задачи речь шла о натуральных числах?
Тома (14.05.11):
Вчера погорячилась: свойство умножения 0*а=0 верно всегда, а вот 0:а=о верно для всех а, кроме нуля. Таким образом, в данной формулировке оба высказывания ложны.
Алёна (30.05.11):
если редакция ничего не знает, зачем писать???
   Ответ редакции
Алёна/Катерина, редакция может ничего и не знает, но айпишники видит.

Не надо имитировать народное недовольство редакцией.

Спасибо.
Екатерина (30.05.11):
6aPa6yJIka (11.04.11):
А когда число делится на 6?
Ответ редакции:
По субботам.

а можно нормально объяснить?
   Ответ редакции
6 = 2 * 3

Поэтому число делится на 6, если оно делится на 2 (последняя цифра - чётная) и на 3 (сумма цифр числа кратна трём).

Что такое "чётная цифра" надо объяснять?
наталья (14.06.11):
подскажите пожалуйста какое самое большое число до 33 делится без остатка на 4,5,6,7,8,9
   Ответ редакции
9*8*7*5 = 2520

насчёт до 33 - вас обманули.
Наталья Еремина (20.06.11):
Помогите решить задание:
В рассуждении востановите пропущенную посылку "127 не делится на 2, следовательно 127 не является четным"
Ира (04.07.11):
Можно доказательство признака делимости на 7. Пожалуйста:)
саша (05.09.11):
а можно по нормальному объяснить
Угадай кто (05.09.11):
\\\\\\\\\\\\\ЗДЕСЬ ЧЁ ПО НОРМАЛЬНОМУ НЕ ОБЪЯСНЯЮТ\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\:-)
вика (10.09.11):
я вообще ничего не поняла!
123 (11.09.11):
Доказать что (abc-cba)делятся на 9
(абс и сба цифры)
анюта (15.09.11):
я ничего не поняла из этих слов я в 6 классе
анирак (16.09.11):
ааааа хорошо то как теперь 2 не поставят а 5 поставят спасибос большоес))))
Феня (17.09.11):
Большес спасибочки!!!
рита (18.09.11):
4114 делится на 11, а как обьяснить не знаю,
подскажите пожалуйста
Лиска (18.09.11):
Внимание!Кто не понимает признак деления на 7, можете делать так. Например:
364:7, так как 36-4*2=28 28 делится на семь без остатка!
Или просто считайте на калькуляторе!
рита (18.09.11):
пожжалллуйста
Аноним (19.09.11):
Найти трёхзначное число,первая цифра которого 2 делиться на 2 на 5 и на 9?
Skaylayn (19.09.11):
свойства делимости на 7
6 класс (19.09.11):
Подскажите мне пожалуйста 5 чисел, которые делятся и на 11 и на 7
6 класс (19.09.11):
Извините 5 четырехзначных
Аноним (22.09.11):
Помогите пожалуйста!Какое наименьшее четырёхзначное число делится на 13?
   Ответ редакции
Делим в столбик 1000 на 13, получаем 76 и остаток 12. Умножаем 77 на 13, получаем 1001. PROFIT!
Аноним (23.09.11):
а какой признак делимости на 111???
Мария (26.09.11):
Просто заметила комментарии типа "я ничего не понял, я в 6 классе". А что вы тогда в 6 классе делаете?! Я тоже в шестом, но ведь всё довольно понятно!

З.Ы. Спасибо большое, благодаря вам, у меня дополнительная пятерка ^^
^^машка^^ (05.10.11):
какое число делиться на 11 и 13???
   Ответ редакции
11*13=143
числа простые, поэтому они общих делителей не имеют
я (07.10.11):
не понял признак делимости на 7
Юлия (09.10.11):
Помогите решить :Докажите что 13+13^2(в квадрате)+13^3+13^4+,,,+13^2009+13^2010 делится нацело на семь?
даша (11.10.11):
бред я не что не поняла
Миша (20.01.12):
при каких делителях остаток не может равняться 2,4,7?
Тома (02.02.12):
Остаток всегда меньше делителя, значит пи делении на 2 не может быть остатка 2, при делении на4 не может быть остатка 4, при делении на 7 не может быть остатка 7. Если в задаче имеется ввиду, что при делении не может появиться ни один из предложенных остатков, то делитель 2.
Аноним (09.02.12):
КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Ольга (10.02.12):
Помогите решить голова уже пухнет: доказать что число вида аааиии делится на 37 и найти все трехзначные чилса которые уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней цифры
Тома (13.02.12):
КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Вероятно, Вы имели ввиду трёхзначное число. В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые. Единственное трёхзначное число, удовлетворяющее этим требованиям, 7*8*9=504.
ДоБрОжЕлАтЕлЬ (16.02.12):
Не думайте, что я мошенник.Есть хороший сайт, я там сижу.Хотите проверяйте,хотите нет-там есть ГДЗ по всем предметам.На всякий случай кину ссылочку:
   Ответ редакции
Есть много хороших сайтов, мошенник.
Алинка (22.02.12):
Ребят, не поняла признак делимости на 7....(
Объясните попроще пожалуйста.
Леонид Васильевич (29.02.12):
Предлагаю другой признак делимости чисел на 7: исходное число (в десятичной системе счисления) переводим в восьмеричную систему счисления и если сумма цифр этого восьмеричного числа равна или кратна 7, то тогда и только тогда исходное десятичное число делится на 7. Пример: десятичное число 259 - переводим в восьмеричную систему счисления - получаем 403 - сумма цифр этого числа равна 7, значит исходное десятичное число 259 делится на 7.
malek (01.03.12):
помогите решить задачу если число кратно 99, то сумма его цифр не меньше 18 пожалуйста!!!!
Алёнка (05.04.12):
Пожалуйста, помогите: Какое число делится и на 7 и на 8 и на 9 без остатка
   Ответ редакции
7*8*9 = 504

меньше чисел нет, потому что 7,8,9 не имеют общих делителей.
Кирилл (07.04.12):
Помогите решить задачу. Лиза выбрала двузначное число , не делящееся на 10. Поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел.. Какое самое большое число она могла получить?
N. (16.04.12):
72
:):):) (17.04.12):
я нифига не поняла...(((((((((((((
Jet (19.04.12):
Помогите решить задачу. Лиза выбрала двузначное число , не делящееся на 10. Поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел.. Какое самое большое число она могла получить?

Решение:
10a+b, b≠0 - так как Лиза выбрала двузначное число, не делящееся на 10;
10b+a - Лиза поменяла цифры числа 10a+b;
разность (10b+a) - (10a+b) = 9b-9a = 9(b-a)
b≠0 и может принимать значения от 1 до 9, a может принимать значения от 1 до 9.
для того чтобы значение выражения 9(b-a) было наибольшим, надо чтобы b=9 и a=1
9(9-1)=9*8=72
Лиза выбрала число 19
Jet (19.04.12):
КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Вероятно, Вы имели ввиду трёхзначное число. В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые. Единственное трёхзначное число, удовлетворяющее этим требованиям, 7*8*9=504.

поправочка небольшая
В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые в совокупности.


Определение
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Например,
8, 15 — не простые, но взаимно простые,
2, 7 — простые и взаимно простые.

Если среди чисел a(1), a(2),..., a(k) любые два являются взаимно простыми, то числа a(1), a(2),..., a(k) называются попарно взаимно простыми.
Например,
6, 8, 9 — не попарно взаимно просты (так как числа 6 и 8 (6 и 9) не взаимно просты).
8, 15, 49 — попарно взаимно просты.

Если же наибольший общий делитель чисел a(1), a(2),..., a(k) равен 1, то числа
a(1), a(2),..., a(k) называются взаимно простыми в совокупности.
Например,
6, 8, 9 - взаимно простые числа в своей совокупности,
3, 4, 9 - взаимно простые числа в своей совокупности.
Jet (19.04.12):
Найдутся ли хотя бы 3 десятизначных числа, в записи которых использованы все цифры от 0 до 9, которые делятся на 11.

Решение:
1) десятизначное число, в нем 5 цифр стоят на четных местах, 5 на нечетных, то есть у нас две группы, а именно сумма цифр на четных местах и сумма цифр на нечетных местах, обозначим сумму цифр на нечетных местах a, а на четных b

2) по условию сказано, что десятизначное число содержит десять различных цифр, как ни крути от перемены слагаемых сумма не меняется, то есть сумма двух групп будет
a+b=(сумма на нечетных)+(сумма на четных)=0+1+2+...+9=45

3)по признаку делимости на 11 дестизначное число делится на 11 тогда и только тогда, когда |a-b|=11n, n=0;1;2;...

4)на этих условиях составляем систему
a+b=45
|a-b|=11n, n=0;1;2;...
из первого уравнения выразим b=45-a и подставим во второе
|a-(45-a)|=11n
|2a-45|=11n

5)решим полученное уравнение
|2a-45|=11n
пусть n=0, тогда 2a=45, a=22,5, но сумма целых чисел целое число, следовательно, значение n=0 мы отбрасываем;
пусть n=1, тогда 2a=45+11, 2a=56, a=28, a=1+3+7+8+9=28 например
пусть n=2k, тогда 2a=22k+45, 22k+45 - нечетное, нечетное не делится нацело на четное, следовательно, n-нечетное
пусть n=3, тогда 2a=33+45, 2a=78, a=39 - не может быть так как сумма пяти наибольших однозначных чисел равна 5+6+7+8+9=35.
при других значениях n значение числа a будет больше 39, следовательно, данному уравнению удовлетворяет только n=1.
Ответ: да найдутся, например, 5968472301, 6958472301 и 5908472361 что и требовалось доказать.
Тома (19.04.12):
Yet! Спасибо за очередное красивое решение задачи о делимости на 11. Безусловно принимаю Ваше уточнение о числах взаимно простых и взаимно простых в совокупности, но в школьных учебниках это понятие не вводится, а решение написано для школьников. Если возможно, напишите, пожалуйста Ваше решение задачи от Александра. Мне удалось построить примеры таких чисел, но найти всё множество представляется весьма затруднительным из-за технических сложностей. Возможно существует какой-то подход, который даст всё множество.
Заранее благодарна.
Александр (21.09.10):
Всем здравствуйте. Помогите решить задачку!
Найдите все семизначные числа, все цифры которых различны и которые делятся на все эти цифры.
Коз (25.04.12):
У меня такой вопрос, 9:9=1 какой у это примера остаток?
Тома (26.04.12):
Остаток равен нулю.
Леонид Васильевич (30.04.12):
Уважаемая редакция! Прошу прокомментировать мое предложение по признаку делимости чисел на 7. Напоминаю суть предложения: исходное число в десятичной системе счисления переводим в восьмеричную систему счисления и, если сумма цифр этого восьмеричного числа равна или кратна 7, то тогда и только тогда исходное десятичное число делится на 7.
   Ответ редакции
А что, есть какие-то элементарные способы перевода в восьмиричную систему счисления из десятиричной?

Можно тогда уж сразу столбиком на 7 разделить и посмотреть, есть ли остаток.
lfsr (12.06.12):
сумма кубов трех чисел делится на 7, доказать что произведение трех этих чисел делится на 7.
a^3 + b^3 + c^3 делится на 7, доказать что a*b*c делится на 7.
Желательно 2-мя способами, через признак делимости и через деление с остатком.
Alina (01.07.12):
Признак делимости на 27
Разделите число на блоки по 3 цифры справа налево. Число делится на 27 тогда и только тогда, когда сумма всех блоков делится на 27.
Alina (01.07.12):
Интересная задача на признак делимости на 7:
Сумма цифр трехзначного числа, все цифры которого различны, делится на 7; само число также делится на 7. Найти все такие числа.

Взято из книги Е.В.Галкин Задачи с целыми числами. -М.: Просвещение,2012. Задача №306, стр.59.
данилко (31.07.12):
Помогите пожалуйста решить задачу:" Цифры a, b, c, таковы, что 2c=3a+b, доказать, что число 100a+10b+с делится на 7"
   Ответ редакции
Из 2c=3a+b следует, что b=2c-3a

100a+10b+c = 100a+10*(2c-3a)+c = 100a+20c-30a+c=70a+21c=7(10a+3c) — это число делится на 7
иор (09.09.12):
какие признаки делимости на45и на12
лайк (12.09.12):
какой признак делимости на 13,объясните по понятней
LordRaLL (14.09.12):
а есть делимость на 13??если да то объясните плиз!
black (16.09.12):
помогите найти наименьшее десятичначное число,кратное 7,все цифры десятичной записи которого различны
Ангелина (24.09.12):
не могу выучить
.. (25.09.12):
Ну и правила как их учить..
Призрак_Времени (26.09.12):
Что такой знакопеременная??Вообще не понятно
Призрак_Времени (26.09.12):
А не могли бы вы более доступно объяснить??
   Ответ редакции
Знакопеременная: берём последнюю цифру со знаком плюс, предпоследнюю — со знаком минус, предпредпоследнюю - снова с плюсом, следующую - с минусом. И считаем эту сумму (точнее, сумморазность). Если получается что-то кратное 11, например 0, +11, -11, +22, -22 - то и само число делится на 11.

Например возьмём число 12364. Его знакопеременная сумма: +4-6+3-2+1 = 0, поэтому само число 12364 делится на 11.
Аноним (07.10.12):
Найдите наименьшее десятизначное число кратное 7 все цифры десятичной записи которого различны.Помогите пожалуйсто
Аноним (09.10.12):
сумма натуральных чисел которые делятся на 7 и не делятся на 13?? помогите пожалуйста
   Ответ редакции
Таких чисел слишком много (бесконечность)
Аноним (09.10.12):
ну можете хотя бы один пример привести с объяснениями,пожалуйста..очень надо
ВАДИМ (20.10.12):
Я смотрел другой сайт там все понятно. Сейчас думаю что это как-то непонятно. Я бы написал признаки и получше.
Аноним (21.10.12):
подскажите наименьшее десятизначное число,кратное 7 все цифры которого различны
нюська (25.10.12):
подскажите пожалуйста как:Доказать, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.
gulka (07.11.12):
podskajite plizz... dvuxznacnoe cislo bolshe 50ti,kotoroe pri delenii na 2 dayot ostatok 1,pri delenii na 9 dayot v ostatke 2,a pri deleniina 8 ostatok raven 3yom.
   Ответ редакции
83 & translit.ru
МОД (15.11.12):
сайт херь модератор лол
   Ответ редакции
зато комментаторы интеллектуалы
Антропос математикос (17.11.12):
Замечательный сайт.
Был бы рад его развитию. Напрмер, раздел с задачами о делимости многочленов над простыми полями.
   Ответ редакции
ἄνθρωπος μαθηματικός, крутой ник.

Мы бы тоже были рады развитию, но штат маловат.
Антропос математикос (17.11.12):
Re Вы не похожи на человека, извините.
Сам ты робот
А я на высокое звание "хомо сопящего" не претендую
   Ответ редакции
В следующей версии сайта уберём капчу, есть более удобные способы борьбы со спамом.
Спрашивающий (21.11.12):
А Как доказать, что произведение нескольких натуральных чисел не может заканчиваться на 13? ..13
   Ответ редакции
213 = 3 × 71

Если имеется в виду произведение нескольких последовательных натуральных чисел, тогда да: произведение любых двух последовательных натуральных чисел чётно, потому что хотя бы один из множителей чётен.
Спрашивающий (21.11.12):
А... вот как. Спасибо!
неизвестная (03.12.12):
плиз признаки делимости на 45 плиииииииз оч надо
   Ответ редакции
45 это пятью девять

на 5 (число заканчивается нулём или пятёркой) и на 9 (сумма цифр числа кратна 9)
-------------------- (05.12.12):
Этот сайт полное ничтожество!!!
   Ответ редакции
Какие комментаторы, такой и сайт.
Антропос математикос (08.12.12):
Я посоветовал бы редакции не показывать неконструктивную критику.
Если некоему интеллектуалу от критики не понравится, скажем, Ваш автомобиль, и он, не найдя лучшего способа выразить свои эмоции, плюнет на бампер, Вы, я полагаю, не станете возить его творчество.
С уважением,
   Ответ редакции
ἄνθρωπος μαθηματικός, приветствую вас.

Про неконструктивные критиков, которые тратят время и на капчу, и на комментарий, написал классик: "Я бежала за вами три дня и три ночи, чтобы сказать, как вы мне безразличны".
Антропос математикос (08.12.12):
Я посоветовал бы редакции не показывать неконструктивную критику.
Если некоему интеллектуалу от критики не понравится, скажем, Ваш автомобиль, и он, не найдя лучшего способа выразить свои эмоции, плюнет на бампер, Вы, я полагаю, не станете возить его творчество.
С уважением,
   Ответ редакции
ἄνθρωπος μαθηματικός
Антропос математикос (08.12.12):
Не получается вставить юникод в это окно.
Не посоветуете, как это сделать?
   Ответ редакции
Да надо переделать сайт на utf8 просто.

Движок старенький уже.
Ева (09.01.13):
вы мне помогли! СПАСИБО!!!
Аноним (15.01.13):
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (т. е. 182919 делится на 11 т. к. 1-8+2-9+1-9 = −22 делится на 11 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 11 дают в остатке 1 или -1.))
   Ответ редакции
Ну так вроде и написано.
Алина (21.02.13):
что такое знакопеременная?помогите,срочно надо!
   Ответ редакции
последняя цифра с плюсом, предпоследняя - с минусом, и так до первой меняя знаки

или наоборот - первая с плюсом, вторая с минусом и до последней
Алина Лайдус (21.02.13):
спасибо:)
Алина Лайдус (21.02.13):
а есть другие признаки делимости на некоторое(другое) число?
   Ответ редакции
из простых - 2,3,5,9,11 и их произведения.
Алина Лайдус (21.02.13):
как понять:"образованы тройками его цифр"?помогите,срочно надо!
   Ответ редакции
Возьмём число 1234567890

Тройки его цифр (с конца): 890, 567, 234, 1

Знакопеременная сумма троек: + 890 - 567 + 234 - 1 = 556

Поэтому остаток от деления числа 1234567890 на 7 такой же, как и при делении 556 на 7
Тоже самое справедливо если вместо 7 поставить 11 или 13
Аноним (18.03.13):
да блин нифига не ясно!!!
Сигирия (23.03.13):
Редакция, вы великолепна! :))))
Lika (18.04.13):
помогите пожалуйста!!!надо доказать признак делимости на "2"
   Ответ редакции
В каком классе?
Lika (18.04.13):
В вузе
   Ответ редакции
Любое натуральное число n представимо в виде 10a+b, где b - его последняя цифра.
10a делится на 2 нацело (в результате получается 5a).

Дальше рассказывать?
Елена (25.04.13):
Здравствуйте! Пожалуйста помогите решуить задачу 4a - 5b делится на 13, a и b - целые числа.
Доказать, что 8a -13b делится на 13.
Glafira (12.05.13):
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу - Найти наибольшее двухзначное число n при котором остаток от деления числа (3 в степени n + 7 в степени n) на 16, если такое число n существует.
Glafira (12.05.13):
Извините пропустила в условии, что остаток равен 2. Условие еще раз :) Помогите пожалуйста решить задачу - Найти наибольшее двухзначное число n при котором остаток от деления числа (3 в степени n + 7 в степени n) на 16 равен 2, если такое число n существует.
Аноним (08.06.13):
Это гавно, т.к. ваш признак не работает для 49, 4123. (не работает для 7 и 13). Тот кто это писал наверное не знает сколько будет 2 + 2, а для вывода признаков нужно знать много чего...
   Ответ редакции
Что именно не работает, "это гавно"?
Галина (17.09.13):
здравствуйте. докажите, что число 1150986753 кратно числу 283
   Ответ редакции
283 простое, поэтому кроме как поделить столбиком ничего не могу посоветовать.
foxAfrica (31.10.13):
Подскажите мне пожалуйста 5 чисел, которые делятся и на 11 и на 7

7700
7007
7777
7*7*11*11=5929
7*7*7*11=3773
Кукурузник (10.12.13):
У вас в признаке на 7 ваще гомно получается
рита (09.01.14):
Как объяснить 228475 и 27645475 делится на 13 и 19?
Аноним (15.01.14):
сумма цифр трехзначного числа равна 7. Доказать,что это число делится га 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны. помогите решить очень надо
Катя (19.01.14):
Подскажите пожалуйста как решить задачу? Трехзначное число abc делится на 17, девятизначное число a000b000c делится на 37. найдите число abc .
Аноним (17.03.14):
прекрасный сайт мне понравилось по нему работать
Аноним (11.04.14):
напиши сколько последовательных двузначных чисел чтобы среди них хотя бы два числа при делении на 7 давали одинаковые остатки
   Ответ редакции
Условие немножко по-странному написано.

Два последовательных числа всегда дают разные остатки при делении на 7.

Более того, даже семь последовательных чисел дают разные остатки при делении на 7: 0,1,2,3,4,5,6 (возможно в другом порядке).

Чтобы в группе послеловательных чисел нашлось два, дающих одинаковые остатки на 7, нужно, чтобы в этой группе было 8 (или больше) чисел.

Количество цифр в числах (двузначность, трёхзначность) не имеет значения.
Аноним (вчера в 14:55):
цифру 7 разделить на шестизначное число что бы оканчивается на 4 сколько их
Комментарий от новенького:
Новенький является
Новенький не робот
Знаки на картинке: латинские буквы, арабские цифры


Есть на сайте: Онлайн кроссворды Задачи Онлайн игры Блог
Все работы, опубликованные на сайте — авторские, если не указано иное. Перепечатка возможна только с письменного разрешения владельцев ресурса, с обязательной ссылкой на сайт petruchek.info. Пишите нам: . Сайт должен работать в IE, FF, Opera, Safari.

Реклама:

Разработано в студии "Webous"о проектесайта карта

Реклама: